Vol.6 中学数学で履修する関数グラフ、その１

　今回は、中学数学で履修する関数グラフについて（とても余計な？）記事を書いております。

　私の数学ブログ「高校数学１ミリメートル」https://mathematic1mm.hatenablog.jp/
は、現在２７稿目を（世辞にも「絶賛」とは言い難いと思いますが）公開中です。こちらも宜しくお願い致します。

　拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

　お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・

比例・反比例のグラフについての（私の）解説（Vol.５での出題について）

以下に示すグラフは、横軸が \(x\) 縦軸が \(y\)

グラフその１．

　\( y = -x + 6 \) のグラフ。このような右肩下がりのグラフを「反比例」と表現していたのをテレビか何かで誰かが言っていたのを見かけたことがある。

　その人は、ある量 \( x \) が増加するにつれて、もう一方の量 \( y \) が直線的に減少するこの様な状況を反比例と言うものと考えていたようだ。実は数学の世界では、このグラフは比例でも、反比例でもない。

グラフその２．

　\( y = \dfrac{1}{x} \) のグラフ。反比例のグラフはこちら。\( y = \dfrac{a}{x} \) で、\( a = 1 \) のケース ( \( a \) は０以外の定数 ) 。\( x \) と \( y \) は反比例している。「 \( y \) が \( \dfrac{ 1 }{ x } \) に比例し、比例定数が１である」状況とも言える。\( xy = a \) 、\( xy = const. \) と書いたりもする。"\( const.\)" とは「一定」（ constant ）とか「定数」の意味。反比例とは、言い換えると「２変数の積が常に一定」という意味でもある。　

グラフその３．

これも反比例のグラフで、\( x \) と \( y \) が反比例している状況を示している。\( y = \dfrac{ a }{ x } \) で \( a = -2 \) のケース。\( x \) と \( y \) の積が負の定数の場合、グラフは第２、第４象限にあらわれる。\( y \) が \( \dfrac{ 1 }{ x } \) に比例し、比例定数が \( -2 \) であるとも言える。

グラフその４．

　お馴染み、比例のグラフ。「比例」は「正比例」ともいう。\( y = ax \) で \( a = 2 \) のケース。\( y \) は \( x \) に比例し、比例定数が \( 2 \) である。比例のグラフは必ず原点を通る。

　正比例の式は \( \dfrac{ y }{ x } = a \) （ \( a \) は \( a \ne 0 \) の定数で、\( x = 0 \) のときは \( y = 0 \) ）とも書ける。反比例が「２変数の積が常に一定」なら、こちらは「２変数の比が常に一定」である。比例と反比例の差異は、こう捉えても良いかもしれない。

グラフその５．

比例定数 \( -0.5 \) の比例のグラフ。\( y = ax \) で \( a = -0.5 \) のケース。先に述べたように、右肩下がりだが、これを反比例とは言わない。この状況も比例という。

グラフその６．

　\( y = 0.5x - 2 \) のグラフ。「グラフ、その１」同様、このグラフもまた、比例のグラフでなければ、反比例のグラフでもない。

　では、この２者は何かというと「一次関数のグラフ」等と言う。一次関数の一般式は \( y = ax + b \) （ \( a \) は \( a ≠ 0 \) の定数）。直線であるところが比例のグラフに似ているが、原点を通らず、\( \dfrac{ y }{ x } \ne const. \) で、比例とはならない。

　但し、\( x \) の増加量を \( \Delta x \)、\( y \) の増加量を \( \Delta y \) とおくと、\( \dfrac{ \Delta y }{ \Delta x } = const. \) ではある。

　この「一次関数の一般式」で、\( b = 0 \) のケース（グラフその４と５）を、所謂「比例のグラフ」とか「比例の式」と呼んでいる。比例とは、一次関数の特別なケースととれる。

　\( y = ax + b \) の式で、\( a = 0 \) である場合を許すと（ \( x \) の１次の項が失われてしまうので、一次関数ではなくなってしまうのだが）、 \( xy \) 座標系の直線は、ある直線を除いて、すべて表現できる。

　「ある直線を除いて」と述べたが、その直線とは、\( y \) 軸に平行な直線で、式で表すなら \( x = const. \) となるものである。これについては \(y = ax + b \) で表すことはできない。ゆえに、直線、\( y = ax + b \) というと、必然的に、\( y \) 軸に平行な直線 \(x = const. \) は除いていることになる。

　\( y = ax + b \) に \( x = const. \) を加えて \( xy \) 座標系のすべての直線を表現できる。

　ここに掲載の中学数学で履修する関数グラフのお話は、私のWEBサイト「ささやかなる探究生活WEB」に掲載したものを推敲、編集し直したものです。（「ささやかなる探究生活WEB」は、私のブログのアーカイブ等として、リニューアルを検討中です）

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演習、その１

　\(y\) は \(x\) の２乗に比例する。\(y\) と \(x\) の関係を図示せよ。

　（私の）解答解説は次回に掲載予定です。尚、本ブログの次回更新は５月中の予定です。４月の更新はお休み致します。宜しくお願い致します。

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演習、その２

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比例・反比例のグラフについての（私の）解説 （Vol.５での出題について）