2023-06-27

Vol.8 ２乗に比例するグラフの特徴を少々・・・

　今回は、中学数学で履修する \( y = ax^2\) のグラフについて（とても余計な？）記事を書いております。

　私の数学ブログ「高校数学１ミリメートル」https://mathematic1mm.hatenablog.jp/
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　本ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。実は今回で更新を中止し、他への引継ぎを検討中であります

　お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・

Vol.7での出題について、

演習その１の解答解説

　下に示す \( y = x^2 \) のグラフから、2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 の各値の平方根を目分量で見積もるには、これらを \(y\) の値とするとき、それぞれの \(x\) の値を読み取ると良い。平たく言うと２乗する前の値を読み取るという事である。

　概ね以下の様に読み取れるかと思う。小数点第２位迄合って無くても、第２位を四捨五入し、第１位迄合っていれば大正解かもしれない。

\begin{array}{ | l | c | c | c | c | c | c | c | } \hline y\ の値 & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 \\ \hline x\ の近似値 & \pm1.41 & \pm1.73 & \pm2.24 & \pm2.45 & \pm2.65 & \pm2.83 & \pm3.16 \\ \hline \end{array}

　この図１のグラフをもっともっと大きく描けば、より正確に近似値を読み取れるかもしれない。その巨大なグラフをドーンと教室の壁に貼っておけば、そのクラスの生徒の平方根の理解はバッチリ！（かもしれない）。

　図１から、平方根（再度述べるが、平たく言うと２乗する前の値）には正の値と負の値の双方があることがわかる。

　更に、実数（中学数学で履修する数の範囲）の範囲では、負の数の平方根は存在しないことも読み取れる。図１から負の数の平方根を求めようとしても、\( y \) の値が \( y \lt 0 \) の範囲に無いからである。

演習その２の解答解説

2-1.

　図１ \( y = x^2 \) のグラフで、\( -2 \lt x \lt 3 \) のときの \( y \) の変域（値域）を求める。再度図１を示すと、

　その範囲では \( 0 \lt y \lt 9 \) なので、これが求める変域となる。\( x = -2 \) のとき \( y = 4 \) で、\( x = 3 \) のとき \( y = 9 \) であるから \( 4 \lt y \lt 9 \) としてはいけない。数学が苦手であるとか、嫌いである生徒が陥りがちな典型的な誤答例である。

2-2.

下に示す図２ \( y = -\dfrac{1}{2} x^2 \) のグラフで、\( -4 \le x \le 2 \) のときの \( y \) の変域（値域）を求める。

　その範囲では \( -8 \le y \le 0 \) なので、これが求める変域となる。\( x = -4 \) のとき \( y = -8 \) で、\( x = 2 \) のとき \( y = -2 \) であるから \( -8 \le y \le -2 \) としてはいけない。これも典型的な誤答例である。

　この演習その２については（数値や符号は異なるだろうが）中学数学の定期テストの定番の出題で、高校入試でも出題されやすい問題でもあり、記憶にある方は多いと思う。私は授業の時は「出題される可能性が高い。絶対間違えないように。確実に正解して得点するように」と、よく言っていたし、これからも言い続けると思う。

　本ブログは更新を中止致しますのでよろしくお願いいたします。「アフィリエイト広告を掲載する」とか、それはやめて「第３のブログを立ち上げて、アフィリエイト広告はそれに掲載する」とか、２転３転致しまして恐縮であります。今後の著述活動について色々と検討中であると受け取って頂けましたら幸いであります。

　引き続き、私の数学ブログ「高校数学１ミリメートル」を宜しくお願い致します。

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演習

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2023-05-18

Vol.7 中学数学で履修する関数グラフ、その2

中学数学のおはなし

　今回は、中学数学で履修する関数グラフについて（とても余計な？）記事を書いております。

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Vol.６での出題について、

　\( y\) が \( x \) の２乗に比例し、比例定数（係数）が \(a\) であることを式で表すと、\( y=ax^2 \) となる。\( a=1 \) の場合、横軸を \(x\) 、縦軸を \(y\) として図示すると、次の図１の様になる。

　図１を見ると、グラフは \( x \) 軸より下には現れないことが分かる。これは、実数を２乗すると必ず０以上になるという事を視覚的に表していると言える。

　ところで、2乗というのは図形的には面積を示している。図１の場合、\( y \) の値は \( x \gt 0 \) で一辺が \( x \) の正方形の面積を示している事となる。一辺の長さが変化するにつれて、その正方形の面積は、このグラフの示すように変化する。

　また、定数 \( a \) を円周率 \( \pi \) とすると、\( x \gt 0 \) で \( y \) の値は半径 \( x \) の円の面積となる。こうして、式やグラフの形と共に、その図形的意味を考えることは、その分野の理解を深めることとなると思う。

　次は比例定数が負の値であるグラフの例。

　図２は \( y = - \dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ。\( x^2 \) の値は必ず０以上となり、係数（比例定数）の符号が負なので、右辺は全体として（つまり \( y \) の値は）必ず０以下の値をとるようになる。

　ここに掲載の中学数学で履修する関数グラフのお話は、私のWEBサイト「ささやかなる探究生活WEB」に掲載したものを推敲、編集し直したものです。（「ささやかなる探究生活WEB」は、私のブログのアーカイブ等として、リニューアルを検討中です）

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　私のささやかな出題にお付き合い下さい・・・

演習、その１

　上に示した \( y = x^2 \) のグラフから、2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 の各値の平方根を目分量で見積もってみよう。

演習、その２

2-1.　図１で、\( 3 \gt x \gt -2 \) のときの \( y \) の変域（値域）を求めよ。

2-2.　図２で、\( 2 \ge x \ge -4 \) のときの \( y \) の変域（値域）を求めよ。

　（私の）解答解説は次回に掲載予定です。本ブログの次回更新は6月中の予定です。
宜しくお願い致します。

　「本ブログの数回更新の後、此処にアフィリエイト広告を掲載の予定」でしたが、このブログでの広告掲載は見合わせ、アフィリエイト広告用のブログを別に立ち上げる事を検討中です。主に贈答品を掲載の予定です。

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演習、その3

　休憩しましょう！

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2023-03-26

Vol.6 中学数学で履修する関数グラフ、その１

中学数学のおはなし

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比例・反比例のグラフについての（私の）解説（Vol.５での出題について）

以下に示すグラフは、横軸が \(x\) 縦軸が \(y\)

グラフその１．

　\( y = -x + 6 \) のグラフ。このような右肩下がりのグラフを「反比例」と表現していたのをテレビか何かで誰かが言っていたのを見かけたことがある。

　その人は、ある量 \( x \) が増加するにつれて、もう一方の量 \( y \) が直線的に減少するこの様な状況を反比例と言うものと考えていたようだ。実は数学の世界では、このグラフは比例でも、反比例でもない。

グラフその２．

　\( y = \dfrac{1}{x} \) のグラフ。反比例のグラフはこちら。\( y = \dfrac{a}{x} \) で、\( a = 1 \) のケース ( \( a \) は０以外の定数 ) 。\( x \) と \( y \) は反比例している。「 \( y \) が \( \dfrac{ 1 }{ x } \) に比例し、比例定数が１である」状況とも言える。\( xy = a \) 、\( xy = const. \) と書いたりもする。"\( const.\)" とは「一定」（ constant ）とか「定数」の意味。反比例とは、言い換えると「２変数の積が常に一定」という意味でもある。　

グラフその３．

これも反比例のグラフで、\( x \) と \( y \) が反比例している状況を示している。\( y = \dfrac{ a }{ x } \) で \( a = -2 \) のケース。\( x \) と \( y \) の積が負の定数の場合、グラフは第２、第４象限にあらわれる。\( y \) が \( \dfrac{ 1 }{ x } \) に比例し、比例定数が \( -2 \) であるとも言える。

グラフその４．

　お馴染み、比例のグラフ。「比例」は「正比例」ともいう。\( y = ax \) で \( a = 2 \) のケース。\( y \) は \( x \) に比例し、比例定数が \( 2 \) である。比例のグラフは必ず原点を通る。

　正比例の式は \( \dfrac{ y }{ x } = a \) （ \( a \) は \( a \ne 0 \) の定数で、\( x = 0 \) のときは \( y = 0 \) ）とも書ける。反比例が「２変数の積が常に一定」なら、こちらは「２変数の比が常に一定」である。比例と反比例の差異は、こう捉えても良いかもしれない。

グラフその５．

比例定数 \( -0.5 \) の比例のグラフ。\( y = ax \) で \( a = -0.5 \) のケース。先に述べたように、右肩下がりだが、これを反比例とは言わない。この状況も比例という。

グラフその６．

　\( y = 0.5x - 2 \) のグラフ。「グラフ、その１」同様、このグラフもまた、比例のグラフでなければ、反比例のグラフでもない。

　では、この２者は何かというと「一次関数のグラフ」等と言う。一次関数の一般式は \( y = ax + b \) （ \( a \) は \( a ≠ 0 \) の定数）。直線であるところが比例のグラフに似ているが、原点を通らず、\( \dfrac{ y }{ x } \ne const. \) で、比例とはならない。

　但し、\( x \) の増加量を \( \Delta x \)、\( y \) の増加量を \( \Delta y \) とおくと、\( \dfrac{ \Delta y }{ \Delta x } = const. \) ではある。

　この「一次関数の一般式」で、\( b = 0 \) のケース（グラフその４と５）を、所謂「比例のグラフ」とか「比例の式」と呼んでいる。比例とは、一次関数の特別なケースととれる。

　\( y = ax + b \) の式で、\( a = 0 \) である場合を許すと（ \( x \) の１次の項が失われてしまうので、一次関数ではなくなってしまうのだが）、 \( xy \) 座標系の直線は、ある直線を除いて、すべて表現できる。

　「ある直線を除いて」と述べたが、その直線とは、\( y \) 軸に平行な直線で、式で表すなら \( x = const. \) となるものである。これについては \(y = ax + b \) で表すことはできない。ゆえに、直線、\( y = ax + b \) というと、必然的に、\( y \) 軸に平行な直線 \(x = const. \) は除いていることになる。

　\( y = ax + b \) に \( x = const. \) を加えて \( xy \) 座標系のすべての直線を表現できる。

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演習、その１

　\(y\) は \(x\) の２乗に比例する。\(y\) と \(x\) の関係を図示せよ。

　（私の）解答解説は次回に掲載予定です。尚、本ブログの次回更新は５月中の予定です。４月の更新はお休み致します。宜しくお願い致します。

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演習、その２

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2023-02-26

Vol.5 いまさら分数の掛け算割り算！？

算数のおはなし

　今回は、前回出題の分数の乗除計算問題について（とても余計な？）記事を書いております。

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前回掲載の分数の乗除計算の（私の）解答解説

1.

　\( \dfrac{5}{3} \times 7 \) について、\( \dfrac{5}{3} \) の７倍という事なので、まあ、当たり前だが、
\begin{align} \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} &= \dfrac{5 \times 7 }{3} \\ \\ &= \dfrac{35}{3} \end{align} （この計算過程が「分数の整数倍は、その分数の分子を整数倍すると良い」という説明となると思う）

2.

　\( \dfrac{5}{3} \times \dfrac{1}{7} \) とは、\( \dfrac{5}{3} \) を、その 7 分の 1 にする事だ。その為には、\( \dfrac{5}{3} \) の分母を 7 倍すると良い。分母を 7 倍した分数は、元の分数の 7 分の 1 になるからである。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} &= \frac{ 5 }{ 3 \times 7 } \\ \\ &= \frac{5}{21} \end{align} （ \(n\) を自然数とする。ある分数を \(n\) 分の \(1\) にするには、その分数の分母を \(n\) 倍すると良い。分母を \(2\) 倍すると、元の分数は \(2\) 分の \(1\) になり、分母を \(3\) 倍すると、元の分数は \(3\) 分の \(1\) になる。）

3.

　では、\( \dfrac{5}{3} \times \dfrac{11}{7} \) はどうか？これまでの流れを考えると、 \( \dfrac{5}{3} \) を 11 倍して、更に、7 分の 1 にする事なので、\( \dfrac{5}{3} \) の分子を１１倍、分母を７倍するとよい。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \times \frac{11}{7} &= \frac{5 \times 11}{3 \times 7} \\ \\ &= \frac{55}{21} \end{align} （結局、分数同士の掛け算の計算結果は、分子同士、分母同士を掛けたものとなる）

4.

　ここからは、割り算になる。その計算の説明について、ここでは

「 \( "\div" \) の両側の数に 0 以外の同じ数を乗除しても、その割り算の値は同じである」
「割り算の結果（値）とは、 \( "\div" \) の右側（つまり、割る側）が \( 1 \) となるときの \( "\div" \) の左側の値である」

　これらの割り算についての２つの規則を用いて説明をしていく事にする。

　先ず、\( \dfrac{5}{3} \div 7 \) について、（この割り算の値（つまり計算結果）を変えずに）\( "\div" \) の右側の数である \(7\) を \(1\) とするためには、\( "\div" \) の両側に \( \dfrac{1}{7} \) を掛けると良い。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \div 7 &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \right) \div \left( 7 \times \frac{1}{7} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \right) \div 1 \ \ \ \ （"\div" の右側が\ 1\ になった！）\\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \\ \\ &= \frac{5}{21} \end{align}

5.

　では、\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{1}{7} \) はどうか。\( \dfrac{1}{7} \) で割るとどうなるのか？ 4 の計算と同様にしてみると、
\begin{align} \frac{5}{3} \div \frac{1}{7} &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \right) \div \left( \frac{1}{7} \times \frac{7}{1} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \right) \div 1 \\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \\ \\ &= \frac{35}{3} \end{align}

6.

　\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{11}{7} \) についても、同様に、 \begin{align} \frac{5}{3} \div \frac{11}{7} &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \right) \div \left( \frac{11}{7} \times \frac{7}{11} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \right) \div 1 \\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \\ \\ &= \frac{35}{33} \end{align}

　ここ迄の掲載の分数のお話は、私のWEBサイト「ささやかなる探究生活WEB」に掲載したものを編集し直したものです。（「ささやかなる探究生活WEB」は、私のブログのアーカイブ等として、リニューアルを検討中です）

　４，５，６の計算過程は、分数の割り算は、割る側を逆数にして掛ける事となるのを直感的に示す例となると思う。私が「分数の割り算は、割る側を逆数にして掛けるのは何故か？」と問われたら、これらの計算過程を示すのが直感的かつ簡潔で、加えて僭越ながら、このやり方が分数の理解を深める助けになるのではないかと秘かに思っている。最善かどうかは別として。

　他の事についても「どうしてそのようにするのですか？」「そういうものなのです」と云ったやり取りは、私はあまりしたくない（そうせざるを得ないと思うときは、自身の力不足を感じる）。特に数学の授業では。出来るだけ色々な問いに、できれば直感的かつ簡潔な理解を示す事が出来ると、私自身が「心穏やか」なのである。

　私は「心穏やか」であるために、自分で立てた細やかな問いに対してもそうする事が出来るように、（更に、その時点での理解を更に改良できるように）そのために細やかに学び、考えているのだと思う。

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演習、その１

　次の１～６のグラフで、反比例を示すものはどれか？

１．

２．

３．

４．

５．

６．

　（私の）解答解説は次回に掲載予定です。次回も宜しくお願い致します。

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演習、その２

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2023-01-23

Vol.4 何故、分数の分母はゼロ以外の値をとるのか？

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何故、分数の分母はゼロ以外の値をとるのか？

　唐突だが、例えば、\( \displaystyle{ \frac{5}{3} } \) とは「３を掛けると５になる分数」と言える。

これに倣えば、例えば \( \displaystyle{ \frac{0}{3} } \) は、3 を掛けると 0 になる分数という事になる。

0 以外の数を掛けて 0 になる分けだから、\( \displaystyle{ \frac{0}{3} } \) の値は 0 という結論となる。

つまり、分子が 0 で、分母が 0 以外の分数の値は、必ず 0 となる。

　次に、分子が 0 以外の数で、分母が 0 のときを考えてみる。そんな分数を仮に考えてみるのである。

例えば \( \displaystyle{ \frac{5}{0} } \) とは（これが分数であるならの話だが）「0 を掛けると５になる分数」という事になる。

しかし、分数や数であるなら、どの様なものでも 0 を掛けると必ず 0 になるのであり、0 以外の値をとる事は無い。

故に、\( \displaystyle{ \frac{5}{0} } \) という分数や数は無いことになる。つまり、分子が 0 以外の値の時に分母が 0 となる分数や数は無い。

　この「ある分数にその分母の値を掛けた結果は、その分子の値となる」という考えを更に進めてみることにする。

またまた仮の話であるが、分子と分母が共に 0 である、\( \displaystyle{ \frac{0}{0} } \) という分数（？）を考えてみよう。

これ迄の考え方を用いると、\( \displaystyle{ \frac{0}{0} } \) は、0 を掛けると 0 になる分数であるという事になる。

どの様な数や分数でも、必ず0 を掛けると 0 になる分けで、これは、すべての数を意味することになる。

故に、\( \displaystyle{ \frac{0}{0} } \) は、すべての数である事を意味することとなる。どれか特定の値とはならない。これを、定まらないという意味において「不定」であると言えると思う。 \( a \ne 0 \) のとき、 \( \displaystyle{ \frac{a}{0} } \) については、その値が計算できない、計算不能である、という意味において「不能」と言えるのではないかと思う。

　誰かに「何故、分数の分母はゼロではいけないのか？」とお尋ね頂いたら、こんな風に答えてみようと思っている。最善の回答では無いかもしれないので、より良い説明を検討していきたいとも思う。

　ここに掲載の分数のお話は、私のWEBサイト「ささやかなる探究生活WEB」に掲載したものを加筆修正したものです。（「ささやかなる探究生活WEB」は、私のブログのアーカイブ等として、リニューアルを検討中です）

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演習、その１

　脳トレに、簡単な分数の計算問題をどうぞ・・・

\begin{align} (1)\ \frac{5}{3} \times& 7 \\ \\ (2)\ \frac{5}{3} \times& \frac{1}{7} \\ \\ (3)\ \frac{5}{3} \times& \frac{11}{7} \\ \\ (4)\ \frac{5}{3} \div& 7 \\ \\ (5)\ \frac{5}{3} \div& \frac{1}{7} \\ \\ (6)\ \frac{5}{3} \div& \frac{11}{7} \end{align} 　相変わらず気の利いた出題とも思えず、なんだか申し訳無いのです。答えは次回に掲載予定です。

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演習、その２

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Vol.7での出題について、

演習その１の解答解説

演習その２の解答解説

2-1.

2-2.

演習

Vol.６での出題について、

演習、その１

演習、その２

演習、その3

比例・反比例のグラフについての（私の）解説 （Vol.５での出題について）

グラフその１．

グラフその２．

グラフその３．

グラフその４．

グラフその５．

グラフその６．

演習、その１

演習、その２

前回掲載の分数の乗除計算の（私の）解答解説

1.

2.

3.

4.

5.

6.

演習、その１

演習、その２

何故、分数の分母はゼロ以外の値をとるのか？

演習、その１

演習、その２

比例・反比例のグラフについての（私の）解説（Vol.５での出題について）