Vol.5 いまさら分数の掛け算割り算！？ - 心穏やかな日々のために

　今回は、前回出題の分数の乗除計算問題について（とても余計な？）記事を書いております。

　拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

　お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・

前回掲載の分数の乗除計算の（私の）解答解説

1.

　\( \dfrac{5}{3} \times 7 \) について、\( \dfrac{5}{3} \) の７倍という事なので、まあ、当たり前だが、
\begin{align} \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} &= \dfrac{5 \times 7 }{3} \\ \\ &= \dfrac{35}{3} \end{align} （この計算過程が「分数の整数倍は、その分数の分子を整数倍すると良い」という説明となると思う）

2.

　\( \dfrac{5}{3} \times \dfrac{1}{7} \) とは、\( \dfrac{5}{3} \) を、その 7 分の 1 にする事だ。その為には、\( \dfrac{5}{3} \) の分母を 7 倍すると良い。分母を 7 倍した分数は、元の分数の 7 分の 1 になるからである。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} &= \frac{ 5 }{ 3 \times 7 } \\ \\ &= \frac{5}{21} \end{align} （ \(n\) を自然数とする。ある分数を \(n\) 分の \(1\) にするには、その分数の分母を \(n\) 倍すると良い。分母を \(2\) 倍すると、元の分数は \(2\) 分の \(1\) になり、分母を \(3\) 倍すると、元の分数は \(3\) 分の \(1\) になる。）

3.

　では、\( \dfrac{5}{3} \times \dfrac{11}{7} \) はどうか？これまでの流れを考えると、 \( \dfrac{5}{3} \) を 11 倍して、更に、7 分の 1 にする事なので、\( \dfrac{5}{3} \) の分子を１１倍、分母を７倍するとよい。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \times \frac{11}{7} &= \frac{5 \times 11}{3 \times 7} \\ \\ &= \frac{55}{21} \end{align} （結局、分数同士の掛け算の計算結果は、分子同士、分母同士を掛けたものとなる）

4.

　ここからは、割り算になる。その計算の説明について、ここでは

「 \( "\div" \) の両側の数に 0 以外の同じ数を乗除しても、その割り算の値は同じである」
「割り算の結果（値）とは、 \( "\div" \) の右側（つまり、割る側）が \( 1 \) となるときの \( "\div" \) の左側の値である」

　これらの割り算についての２つの規則を用いて説明をしていく事にする。

　先ず、\( \dfrac{5}{3} \div 7 \) について、（この割り算の値（つまり計算結果）を変えずに）\( "\div" \) の右側の数である \(7\) を \(1\) とするためには、\( "\div" \) の両側に \( \dfrac{1}{7} \) を掛けると良い。よって、
\begin{align} \frac{5}{3} \div 7 &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \right) \div \left( 7 \times \frac{1}{7} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \right) \div 1 \ \ \ \ （"\div" の右側が\ 1\ になった！）\\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{1}{7} \\ \\ &= \frac{5}{21} \end{align}

5.

　では、\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{1}{7} \) はどうか。\( \dfrac{1}{7} \) で割るとどうなるのか？ 4 の計算と同様にしてみると、
\begin{align} \frac{5}{3} \div \frac{1}{7} &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \right) \div \left( \frac{1}{7} \times \frac{7}{1} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \right) \div 1 \\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{7}{1} \\ \\ &= \frac{35}{3} \end{align}

6.

　\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{11}{7} \) についても、同様に、 \begin{align} \frac{5}{3} \div \frac{11}{7} &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \right) \div \left( \frac{11}{7} \times \frac{7}{11} \right) \\ \\ &= \left( \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \right) \div 1 \\ \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{7}{11} \\ \\ &= \frac{35}{33} \end{align}

　ここ迄の掲載の分数のお話は、私のWEBサイト「ささやかなる探究生活WEB」に掲載したものを編集し直したものです。（「ささやかなる探究生活WEB」は、私のブログのアーカイブ等として、リニューアルを検討中です）

　４，５，６の計算過程は、分数の割り算は、割る側を逆数にして掛ける事となるのを直感的に示す例となると思う。私が「分数の割り算は、割る側を逆数にして掛けるのは何故か？」と問われたら、これらの計算過程を示すのが直感的かつ簡潔で、加えて僭越ながら、このやり方が分数の理解を深める助けになるのではないかと秘かに思っている。最善かどうかは別として。

　他の事についても「どうしてそのようにするのですか？」「そういうものなのです」と云ったやり取りは、私はあまりしたくない（そうせざるを得ないと思うときは、自身の力不足を感じる）。特に数学の授業では。出来るだけ色々な問いに、できれば直感的かつ簡潔な理解を示す事が出来ると、私自身が「心穏やか」なのである。

　私は「心穏やか」であるために、自分で立てた細やかな問いに対してもそうする事が出来るように、（更に、その時点での理解を更に改良できるように）そのために細やかに学び、考えているのだと思う。

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